3x3x3魔方十字探討

在魔術方塊正式的比賽中，一開始都會給選手12秒的觀察時間，很多人會覺得納悶，觀察到底要觀察什麼？這個觀察其實就是在觀察待會兒十字(cross)要怎麼做，少了這個觀察，原本不到15秒(sub-15)的玩家可能要轉到20秒以上，因此這個觀察非常重要，這個也是速解(speedcubing)與一般解的差異所在。

十字(cross)的訓練，對於一個速解玩家(speedcuber)來說非常重要，為了達到直覺的反應建議要固定某個顏色來做為十字的顏色。因為常常白色的中心都會有個Logo，所以大部分的玩家都喜歡用白色來當底；少數的玩家會以黃色當底。

速解前的觀察就是要將方塊轉成十字。

現在我們就來探討一下，「十字」要完成它，需要幾個步來完成。至於怎麼樣稱做「一步」呢？一般習慣上只要一個面有轉動，不管轉了多少，就算「一步」，轉90度、轉180度都算一步，這種計步方式英文稱作「Face turn metric(FTM)」。另一種計步方式，是只要轉90度就算一步，因此轉180度時，就要算兩步，英文稱作「Quarter turn metric(QTM)」。而除了學術研究外，一般都是用前者FTM的計步方式，所以接下來所探討的步數皆是FTM的計步方式。

單底

假設我們以白色為底，則組成白色十字的邊塊共有白藍、白紅、白綠、白橙四塊。這四個邊塊都有可能散落於12個邊塊的位置上，因此共有種情況；又每個邊塊會有兩個方向，例如白藍有可能擺成藍白，所以共有種情況。

這些情況只會有1種十字已經完成了，就是像上圖那樣。

而只需一步就可以完成的有15種情況，分別是藍、紅、綠、橙、白這五個面轉了90度、180度及270度，共種。

需要兩步的情況比較複雜，我們先由一個轉好十字的方塊倒推回去比較容易思考。分成下面幾種情況：

1. 先白後側：先轉白色面有90度、180度、270度3種轉法，然後側面有藍、紅、綠、橙四種顏色可以選，又一樣有90度、180度、270度3種轉法，共種。
2. 先側後白：先側面4種顏色選一種，有90度、180度、270度3種轉法，然後再轉白色面也是3種轉法，共種。
3. 先側後黃：側面4種顏色選一種，然後只有一次轉180度後，才會跟黃色面產生影響，接著黃色面又一樣有90度、180度、270度3種轉法，共種。
4. 相對側面：亦即藍綠或紅橙兩組，以前者為例，藍色面3種轉法，綠色面3種轉法，組合起來共種，順序無影響，紅橙面亦同，所以共種。
5. 相鄰側面：以橙藍為例，橙面有3種轉法、藍色面有3種轉法，組合起來共9種，但因為面相鄰，所以有的情況順序會影響，同學們可以自己列舉，有5種會受順序影響，4種不會，所以共14種情況；另外還有藍紅、紅綠、綠橙共4組，所以共種。

總結上面情況，共種情況，可以兩步完成十字。

三步以上的話，情況極為複雜，需要借助電腦來計算，Lars Vandenbergh是一個程式設計師，本身也是個速解魔方的玩家，他用電腦把所有的情況計算出來，列表如下：

平均5.812步

所以一開始在練習十字的時候，可以不限時間，要求自己能夠在7步內把十字完成，時間長了，自然觀察時間會縮短。

雙底

速解魔方的玩家，有時為了求進步，會練雙底十字。也就是不一定從白色的十字開始，當他看到黃十字比較容易時，就會採取黃十字為底來開始。建議當你平均有20秒內(sub-20)才採取這種方式，不然你的成績很容易不進而退。當然，一開始練習時，會常常出錯是一定的。

這裡以黃白雙底為例，十字會用到8個邊塊，跟前面單底的討論方法類似，8個邊塊落於12個位置，每個都有兩種方向，所以共有種情況。

這時十字已完成的情況，不像單底只有一種了。假設白十字已完成，這時四個黃色邊塊有可能任意落於剩下的8個邊塊上，然後每個又有兩種方向，因此共有種情況，同樣的若黃十字已完成，也是有種情況，但兩者加起來還必需扣掉同時完成的情況(排容原理)，因此共種情況。

因為雙底，白色黃色彼此影響，因此連要計算1步完成的，就蠻複雜了。

我們假設下面三種集合：

        集合A：側面轉90度或270度

        集合B：側面轉180度

        集合C：底面轉90, 180, 或270度

這些情況都是一步可以完成黃或白的十字，因此我們要求其聯集個數。

這種情過利用兩層排容原理的話就會比較好解釋：

現在對每一項分別解釋：

所以種情況。

兩步以上的話，Lars一樣用電腦把所有的情況計算出來，列表如下：

平均5.3872步

我們可以看出，雙底的話，平均完成十字的步數會減少0.5步，至於覺得值不值得，就要由玩家自己去判斷了。

多底

十字的最高境界就是多底，也就是拿什麼顏色當底都可以。也有不少高手嚐試過，唯一的一個結論就是……難，因為更容易出錯，雙底已經讓很多玩家退卻了，更不用說多底。建議還是別嚐試，不信的話，讀者可以試一試，假設你是白底，然後請別人幫你轉亂(scramble)後，把藍色十字做好拿給你轉，沒練過多底的話，保證你退步10秒以上。不過在這裡我們還是可以算算多底的數據。

多底的話，12個邊塊都可以當作是底的一部份，因此總共有種情況。

Lars也用電腦把所有的情況計算出來，列表如下：

平均4.80946步

我們可以看出，多底的話，平均完成十字的步數會降至4.8步而已，也就是差不多5步就可以轉好十字，不過由於後來的F2L會不習慣，所以很少人會採用多底的方式。

若讀者想了解QTM的計步方式的統計數據的話，可以參考Lars的網頁：Lars Vandenbergh's CubeZone: Cross study .