Flip-Side探討
此Puzzle由Ferdinand Lammertink所設計，由ThinkFun發行。於2006年申請了美國專利。
相當於1到10的數字排列，只是分成上下兩排，所有的情況都會出現，所以共有10!= 3276800 種情況。
經由電腦的計算，所有的情況皆只要翻轉11次以內就可以完成。列表如下：
|
步數 |
狀況數 |
|
0 |
1 |
|
1 |
9 |
|
2 |
67 |
|
3 |
493 |
|
4 |
3469 |
|
5 |
23385 |
|
6 |
145212 |
|
7 |
714611 |
|
8 |
1579683 |
|
9 |
1075898 |
|
10 |
85968 |
|
11 |
4 |
|
Total |
3628800 |
若完成的狀態為0123456789的話，其中需要11步的四種狀況分別為：2785603914, 5846972301, 5806934127, 8967203514。
轉動方式很簡單，就是上排的連續三個數字，與下排的連續三個數字交換位置。
這類Puzzle若沒有一個系統的方法來解的話的確有點難，一般我們會利用commutator來設計解法，但因為每一排只有三個位置可以動，所以setting的過程很長，不好想，或是記憶有時會亂掉。而且上下排的組合，有9種情況，要整理一個簡單的解法，讓一般人讀的懂並不容易。
我們借助了電腦的幫忙，經過不段的嘗試，整理出了一個非常簡單的解法，單一公式即可。
公式代號很簡單，上下排都一樣，左邊三個置換是0，中間三個置換是1，右間三個置換為2。
例如：
，即為20。
例如：
，即為01。
三循環公式
| 示意圖 | 公式 | 說明 | |
| A |  |
00/01/00/10 | 最右邊的4與9是不會動到的，也就是上下排皆只要四個空間就能做到三循環。 |
若不習慣公式代號，可以看下列的動作拆解，轉換成自己好記的形式。
底線就是接下來要翻轉的數字：
只要使用三循環的公式A，就可以把所有情況解決了。
下列舉一些三循環例子作為提示：
| 示意圖 | Setting | 變成 | |
| B |  |
上排左移即可 |  |
| C |  |
22/21 |  |
| D |  |
00/02 |  |
| E |  |
01 |  |
若剩下雙對調呢？用兩次三循環即可，請看下面圖解：
| 示意圖 | ||
| F |  |
=  +  |
| G |  |
= +  |
若遇到單對調怎麼辦呢？請看下面圖解。
| 示意圖 | ||
| H |  |
=  +  |
有沒有感覺很像數學上的相消呢？
的確，在代數中的一些論述，也都常常用到類似的原理。
感謝系上的碩士生陳秉君同學用寫程式，跑了不少的結果，才讓我整理出這套解法。
一般用上面的「理解型解法」就可以解出所有情況了，
但背了下面的公式，可以讓你更快解出來。
當然，我是覺得不須如此，建議參考即可。
| 哪兩個位置交換 | 最短公式 | 備註 | |
| S01 | 01 | 00/01/22/10/20/00/02/00/20 | 共72種解法 |
| S02 | 02 | 00/02/00/21/11/22/12/00/20 | 共有162種解法 |
| S03 | 03 | 01/20/01/02/10/21/02 | |
| S04 | 04 | 00/02/21/11/22/12/00/02/20 | |
| S05 | 05 | 00/02/00/20/00/12/11/22/21 | |
| S06 | 06 | 01/20/02/10/21/02/20 | |
| S07 | 07 | 00/01/10/11/21/00/21/01/10 | |
| S08 | 08 | 01/10/01/02/00/11/02 | |
| S09 | 09 | 00/02/20/00/21/11/22/12/20 | |
| S12 | 12 | 00/01/00/20/10/11/22/12/22 | |
| S13 | 13 | 00/01/02/10/21/02/01/20/00 | |
| S16 | 16 | 00/01/02/10/11/02/00/12/02 | |
| S17 | 17 | 00/10/00/02/01/11/12 | |
| S18 | 18 | 01/00/12/02/12/10/11 | |
| S27 | 27 | 00/01/11/10/12/02/12 |
(註：所有單對調的情況就這15種，其他的都用這些的對稱、翻轉即可。)
另外三循環的，總共有32種，我想就不列出了，就用「理解型解法」中的綜循環公式變換即可。若真的有人想要這32種的表，再自行跟我索取。
最後給大家一個挑戰，若此遊戲改成4與9(最右邊的兩個)永遠不能動的話，會是如何呢？
這時會麻煩很多喔，最多需要20步才能全部復原。
|
步數 |
狀況數 |
|
0 |
1 |
|
1 |
4 |
|
2 |
11 |
|
3 |
30 |
|
4 |
77 |
|
5 |
180 |
|
6 |
373 |
|
7 |
696 |
|
8 |
1226 |
|
9 |
2042 |
|
10 |
3152 |
|
11 |
4452 |
|
12 |
5752 |
|
13 |
6760 |
|
14 |
6852 |
|
15 |
5318 |
|
16 |
2655 |
|
17 |
668 |
|
18 |
60 |
|
19 |
10 |
|
20 |
1 |
|
Total |
40320 |
其中需要20步的只有一種情況，就是「32107654」，也就是上下排順序都反過來的情況。
需要19步的10種，分別為：76543120, 76543201, 67543210, 76503214, 75643210, 76542310, 76453210, 37652104, 65407321, 36547210。