齒輪角轉八面體方塊探討

Gear Corner turning Octahedron


此為Timur Evbatyrov設 計的作品,由Calvin's Puzzle量產發行。它多了一個名為Turning Knob的結構,所以可以單角旋轉,難度增加了;

下圖是另一種齒輪八面體,與一般的齒輪方塊結構相同,但不在本篇的討論範圍內。

此種齒輪八面體不在本篇的討論範圍內;它的解法同齒輪方塊一代,再加上齒輪粽子中心轉法即可。


  1. 結構
  2. 幾種變化
  3. 解法
  4. 特殊狀況

結構


每個角塊皆為8齒


每個邊塊亦為8齒

每次的轉動必需要轉到小三角形到正中心才算一次完整的轉動。如下:
 

而每次完整轉動,其實是角塊轉7齒(位置不動),邊塊自轉5齒,並換位置(公轉四分之一圈),如下圖:

角塊轉的齒數,等於5+8*(1/4)=7。

對於上面這些數字的觀察對於計算幾種變化非常重要。

 

幾種變化

1. 角塊的位置永遠不會變,但可自轉,一次7齒。所以是7^6種。

2. 邊的位置,角每轉7齒,邊的位置會4循環(4-cycles),為奇排列,所以所有的排列皆會出現。但是若角塊轉奇數次,就是奇排列,若是轉偶數次,就是偶排列,所以邊位置的排列數,會因角的轉動齒數而改變。總共有12!/2種情況。

3. 而小三角形的位置,跟上者同樣的道理,會與角塊的轉動奇偶數相關。所以總共是8!/2種情況。

4. 至於邊塊的方向,角每轉7齒,四個角每個角各自轉5齒,共20齒,為8k+4(4的奇數倍)。但若角轉偶數齒的話,邊塊的齒數即為4的偶數倍,亦即是8的倍數。所以邊的齒數會被角的齒數奇偶數決定,共 8^12/8 = 8^11 種。

綜合起來,共 (7^6)*(12!/2)*(8!/2)*(8^11) = 4,879,503,043,143,617,294,106,624,000 = 4.88*10^27 種變化。

 

解法提示

代號


U就是抓著該角,順時針轉動「7齒」。

注意,是「7齒」不是「8齒」,因為角轉「7齒」才會讓邊塊換一次位置,完成一次完整轉動;也就是讓中間的小三角形回到中心的位置。

符號與一般3x3方塊一樣,後面沒看到的角,代號為「B」。

上圖轉了「U」之後,應該變成下圖:

 

第一步 角方向轉好

在判斷好每一面的顏色之後,一直旋轉角,每次7齒為單位,讓其方向正確。如下圖:

 

第二步 邊塊位置

若轉過Pyraminx的話,這步應該不是問題,但請注意,要用下面的公式來換邊,這樣角塊的方向才不會跑掉。

  示意圖 公式  
E1 F'LFL' 本套公式的基本型,以下所有公式皆是以此套用出來的。

 

第三步 邊塊方向

  示意圖 公式 原理
E2 F'LFL'-
L'ULU'-
U'FUF'
其實是E1三個方向各做一次。
E3 F'LFL'-
L'ULU'-
U'FUF'-
LF'L'F-
FU'F'U-
UL'U'L
用兩次E2組合而成,一次順一次逆。
E4 L4-U'-L4-U

其實可以轉E3四次,但這樣太久。

L4即為L角轉三圈半(28齒)

E5 LF'L'F-
U'FUF'

其實可以用E3轉三次,但這樣太久。

(陳啟仁大師提供)

E6 (FU'F'UF'LFL')*2

當然可以用E3轉兩次,但用E5逆轉兩次比較快。

 

第四步 中心小三角形位置

  示意圖 公式  
C1 F'LFL'-R'
LF'L'F-R

其實是利用E1來組合出來的公式。

(陳啟仁大師提供的轉法:
R'F'RB'R'FRB
此方式若了解原理的話,可以換任意三個中心)

C2 順時針換 R-F'LFL'
R'-LF'L'F
或BUB'RBU'B'R'

恭喜你,已經可以把此方塊復原了。

 

註:第四步與第三步,其實可以同時完成,但要小心E5的公式是會動到中心的。

 

 

特殊情況(Special Pattern)

下面有幾種特別的狀況,考考各位網友,若可以轉出所有的情況的話,表示你對這個方塊已經非常熟悉了。

  情況 說明
S1 單角轉180度。
S2 單角轉90度
S3 三小三角形換位置
S4 四小三角形兩兩對換。