齒輪金字塔方塊探討
Gear Pyraminx
此為Timur Evbatyrov設 計的作品，由Meffert量產發行。
每個角塊皆為9齒
每個邊塊皆為6齒
每次的轉動必需要轉到中心對齊才算一次完整的轉動。如下：
而每次完整轉動，其實是角塊轉8齒(位置不動)，邊塊自轉5齒(並換位置,如圖)。
對於上面這些數字的觀察對於計算非常重要。
角塊的位置永遠不會變，但是可以向下圖一樣，只有單角轉1齒。(轉法見文末)
因此所有角的轉向皆會出現，共有 4^9= 262,144 種情況。
至於邊的情況，當某個邊移到四個相鄰位置時，都是旋轉5齒，(兩順兩逆，如下圖)
而每個邊塊移出自己的位置又再移回來，所走的步數，皆為三的倍數。
所以每個邊塊，若位於正確位置時，所轉的齒數必為15的倍數。
而邊塊齒數為6齒，所以當邊塊位於自己位置時，所轉的角度，不是0度，就是180度。(因為15的倍數，必為6的倍數或6的倍數加3。)
因此，邊塊我們只要計算它們的位置，與是否轉180度即可。
邊塊移動時，因為一次都是三個邊塊換位置，為偶排列，所以位置總共有 6! / 2 = 360 種情況。(扣掉奇排列)
由於可以有辦法單個邊塊轉180度，如下圖：
所以共有 2^6 = 64 種情況。
綜合起來，共 4^9 * 2^6 * 6! / 2 = 6,039,797,760 種變化。
代號
U就是抓著該角，順時針轉動「8齒」。
注意，是「8齒」不是「9齒」，因為角轉「8齒」才會讓邊塊換一次位置，完成一次完整轉動。
上圖轉了「U」之後，應該變成下圖：
角暫時不會回到正確位置，但是依造下列設計的公式，最後還是會回到正確位置。
第一步 四角方向轉好
轉亂的情況如下圖，
在判斷好每一面的顏色之後，一直旋轉角，每次8齒為單位，讓其方向正確。
(註：可以先計算好順逆時針方向後，再轉比較快。)
第二步 邊塊位置
若轉過Pyraminx的話，這步應該不是問題，但請注意，要用「有去有回」的方式來換邊，這樣角塊的方向才不會跑掉。
| 示意圖 | 公式 | ||
| E1 |  |
U'DUD' | |
| E2 |  |
UDU'D' |
第三步 小牙(換兩組小牙)
在邊塊位置都正確後，自動就會回復成正四面體。如下：
因此只要能處理邊塊翻轉180度的情況即可。
方法出奇的容易。
| 示意圖 | 公式 | 原理 | |
| E3 |  |
U9 |
沒錯，就直接某角轉8圈即可。 因為邊塊移動回原位是轉了5*3=15齒(1圈半)，此時角轉了8*2=24齒，但角有9齒，想要讓角轉回原位就至少要轉24與9的最小公倍數 = 72齒， |
| E4 |  |
U9-D-U9-D' |
利用兩次換三邊塊，重複兩個邊塊而成。 此公式可以化簡為「U3-D-U3'-D'」。(感謝陳啟仁大師提供) |
| E5 |
|
略 | 利用上兩個公式組合而成即可。 |
恭喜你，已經把Gear Pyraminx復原了。
值得一題的是，上一節提到的單角轉1齒的情況：
可以利用「(UDU'D)*4」來達成。有沒有覺得很有趣呢？