二階齒輪方塊探討

2x2x2 Gear Shift Cube

此方塊由Oskar設計，由Meffert量產發行。

  1. 結構
  2. 幾種變化
  3. 解法
  4. 加強解法
  5. 最佳解

結構

它的構造蠻特別的，四個大齒輪與四個小齒輪位於六面體的八個角上。

大齒輪有8齒

小齒輪有5齒

相同大小的齒輪彼此不接觸，因此轉的時候，同Size的齒輪會同方向轉。
如下圖，若把一個大齒輪順時針轉動的話，所有大齒輪都會順時針轉，而小齒輪都逆時針轉。

因 8 與 5 互質，所以會組合出所有的情況，因此，若把2階齒輪直接這樣子轉亂，要回復原狀，就一直朝同一個方向轉，一定會回復。

難到Gear Shift就這麼容易嗎？

其實不是的，它還有別的機關！

它可以拉開成兩部份。

如下圖，是左右拉開的情況。

拉開後，兩個部份都可以獨立轉動，不互相影響。

如下圖，左右拉開後，可以只轉右半部。

左右、上下、前後，三個方向都可以拉開，但是不能同時，只能一個方向拉開。這個是此方塊設計最值得讚許的地方。(否則就太容易復原了！)

、

現在我們就來把它轉亂吧！記得要三個方向要輪流分開轉一轉，才會真的亂喔！

 

幾種變化

2階齒輪方塊，每個齒輪位置都固定不動，只有轉動，所以不用像其他方塊要計算位置變化(Permutation)，只要計算旋轉即可(Orientation)。

小齒輪可以單獨轉一齒(見下一節)：

所以小齒輪的所有組合情況都會發生，共 5^4 = 625種。

大齒輪無法單獨轉一齒(本文最後求最佳解一節有證明)，又因為每次旋轉都是兩個或四個同時旋轉，所以「四個大齒輪所轉的齒數總合必為偶數」。

所以大齒輪的所有組合有 8^4 / 2 = 4096/2 = 2048 種。(扣除總合為奇數的情況)

因此共有 625*2048 = 1,280,000 種不同的變化。

 

解法

第一步 先解6角

1) 左右拉開，兩邊一直轉到上面四個角好。

2) 合併，然後翻過來，如下圖。

3) 上下分開，轉動上層直到另兩個角完成。

4)此時應該如下圖，只剩下兩個角。(運氣好的話，只會剩1角或者就已經完成了！)
 

第二步 解最後兩角

符號(Notation)：

符號 示意圖 說明 備註

R

 左右拔開後，
右面大齒輪順時針轉1齒。

R5表示順時針轉五齒。

R-8表示逆時針轉八齒。

U

上下拔開後，
上面大齒輪順時針轉1齒。

U-8表示逆時針轉八齒。

F

前後拔開後，
前面大齒輪順時針轉1齒。

F-5表示逆時針轉五齒。

L

 N/A 左右拔開後，
左面大齒輪順時針轉1齒。		  

 

請先將剩下還沒轉好的齒輪，大的放左邊，小的放右邊，以方便說明。

公式

編號 情況 公式 備註
A1


左邊大角逆時針兩齒

F-5R5U-5

 因為都是轉五齒，所以右上角的小齒輪，依序是順轉一圈、逆轉一圈、再順轉一圈，每次都會回到正確位置。
A2


右邊小角逆時針一齒

F8L-8U8

 因為都是轉八齒，所以左上角的大齒輪，依序是順轉一圈、逆轉一圈、再順轉一圈，每次都會回到正確位置。

用此兩個公式，很容易就可以把此方塊解好了。等熟練了之後，可以再參考下一節的加強解法，可以讓你更快解出。

 

原理

公式A1，要讓大角逆轉2齒，但事實上並不是只轉2齒，而是10齒、18齒都可以，甚至是順轉6齒、14齒也行。所以比較嚴僅的來說，是大角要逆轉「8的倍數加2齒」，然後為了不破壞小角，所以我的方式就是利用小角轉一圈(五齒)來想辦法讓大角有所變動，而小角要轉一圈，就是轉了「5的倍數」齒。用數學式子來表示為：

5k = 8m+2, k, m為整數

雖然是無限多組解，不過我們當然是希望能轉動最少齒，所以取 m = 1, k = 2 的解。也就是利用大角實際上轉了10齒，來達成轉2齒的效果。

讀者可以仔細觀察公式A1的轉動，就會知道，左邊的大角總共轉了10齒，而其他的角，都是順逆相消了。

公式A2，同樣的道理，要讓小角轉1齒，也就是轉 5k+1齒，而實際上是轉了兩圈的大角(16齒)來達成。

 

加強解法

由於2階齒輪每一面的轉動順序是無關的，所以每面的轉動符合結合率，所以我們可以利用預先計算要轉動的步驟，互相抵消，來減少轉動的齒數。

以一個例子來說明：

上面的情況經過判斷，

右邊的大角須要順轉四齒，所以要逆做公式A1兩次，亦即：(F-5R5U-5)-2。

右邊的小角須要順轉一齒，所以要逆做公式A2一次，亦即：(F8L-8U8)-1。

將兩式結合，得：(F-5R5U-5)-2(F8L-8U8)-1 = R-10L8F2U2。

所以只要轉動四次即可復原，事實上只要分開三次而已，因為 R 與 L 可以一起操作。

有沒有覺得很像乘法的指數率呢？這個也就是為何我要設計這樣符號的原因。

 

註：當然，也可以一開始8個角都用這樣計算來抵消，只是很容易亂掉。

 

最佳解

最佳解法指的是用數學的輔助，求出最少的步數解，並不是速解。若要速解的話，用上面的加強解法即可。

註：本節會用到一些線性代數(Linear Algebra)的概念。

 

由於2階齒輪，每個角的位置並不會移動，只會自轉，所以每一面的轉動順序是無關的，彼此互相獨立(Independent)，

而每次的轉動，會一直累加，順逆轉會相抵消，所以有線性關係(Linear Property)。

我們先將每個角做編號：

假設 F, U, L, B, D, R 為每一面轉動的齒數，A為八角同時轉動齒數，以大角為準，順轉為正，逆轉為負。

則角1轉動的齒數為：A+F+U+L

角2轉動的齒數為：-A-U-B-L

角3轉動的齒數為：A+U+B+R

…

依此類推。

若目前方塊轉亂的情況如下：

就相當於解下面的聯立方程的整數解：

8條式子，15個變數，

可能要花不少時間才解的出來，好在線代有學到一些化簡的方式。

將其寫成向量型式：

這七個向量，很容易看出它們是線性相依(Linearly dependent)，又因為 A=F+B=U+D=R+L，所以可以知道其秩(Rank)最多只有4，所以可以移除其中3個向量，讓解集合(Range)不變。那我們不妨就移除 A, B, D 三個向量，剩下F, U, R, L四個面向我們的面的代表向量。

讀者可以自行檢驗，剩下四個已經最少了，不能再刪了。所以此7種轉法的基底(Basis)為 {F, U, R, L}，

因此

Theorem 1: Four rotations is necessary and sufficient to solve the all state of the 2x2x2 gear shift.

(定理1: 四步即可解出所有2階齒輪的情況，但三步不行。)

 

上例寫成矩陣型式，

就可以使用線代裡的各種方法來解；簡約梯矩陣(Reduced-echelon form), 投影矩陣(Pseudo inverse, A(ATA)-1AT)……之類的種種方法來解。甚至是直接用數學軟體來解。

上式解出來得：

其中的 Z 是任意整數，我們令 Z1= Z3 = Z4= 0，而 Z2 = -1，得

因此，只要轉 F14L-6R-4U18，這四步，即可解出這個2階齒輪。(而且我還可以知道角一轉3齒、角二轉2齒、角三轉2齒……)

 

文章最後，我們來用線代來推導上面的兩個公式：

Theorem 2: Algorithm F-5R5U-5 can just only rotation the big gear 2 teeth counterclockwisely.

定理2: 公式 F-5R5U-5 可單轉大角逆時針兩齒。

Proof: 即解下列聯立方程，即可：

解出後，令k3= k6= k8= 0, k7= -1，即得：

Q.E.D

Theorem 3: Algorithm F8L-8U8 can just only rotation the small gear 1 tooth counterclockwisely.

定理3: 公式 F8L-8U8 可單轉小角逆時針一齒。

Proof: 即解下列聯立方程，即可：

可求得其中一解為：

Q.E.D

最後用線代證明，大角不可能只轉一齒。

Theorem 4: The big gear can't only rotate just 1 tooth.

定理4: 大角不可能只單轉一齒。

Proof. 試解下面聯立方程

用電腦整數解，會立刻得到無解。若不用電腦的話，則須要花一點時間，還是驗證的出來，這個部份就留給讀者自己推導了。

 

 

註：若用Maple來跑聯立方程的整數解，可以使用 isolve 的指令。

 

 

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